求螺旋形弹簧的质量
设螺旋形弹簧一周的参数方程为
\[
\begin{cases}
x=a\cos t,\\
y=a\sin t,\\
z=kt,
\end{cases}
\]
这里 $t\in[0,2\pi]$. 不妨记此曲线为 $\Gamma$, 设其线密度函数为 $\rho(x,y,z)=x^2+y^2+z^2$, 求:
(1) $\Gamma$ 的质量;
(2) $\Gamma$ 关于 $z$ 轴的转动惯量;
(3) $\Gamma$ 的质心.
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